[2015년 저동고]

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[2학년(문과) 1학기 중간]

다음 수열 중 수렴하는 것은? [3.5점]

⑤

① [eqn: sqrt {2} ,``` sqrt {3} ,```2,``` CDOTS ,``` sqrt {n+1} ,``` CDOTS ```]
② [eqn: 7,```5,```1,``` CDOTS ,```9-2 ^{n} ,``` CDOTS]
③ [eqn: LEFT { {4 ^{n}} over {3 ^{n} +2} RIGHT }]
④ [eqn: LEFT { (-1)^n+1 +n`RIGHT }]
⑤ [eqn: 1,``` {3} over {2} ,```` {5} over {3} ,```` {7} over {4} ,```` CDOTS ,``` {2n-1} over {n} ,``` CDOTS]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴하고 [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} +b _{n}} )=5],
[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} b _{n}} =4]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} -b _{n}} ) ^{2}]의 값은? [3.5점]

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

첫째항이 [eqn: 4], 공비가 [eqn: - {1} over {4}]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]의 값은? [3.5점]

②

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {16} over {5}]	③ [eqn: {14} over {3}]

④ [eqn: {24} over {5}]	⑤ [eqn: {21} over {4}]

등비수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {1-2x} over {3} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는? [3.5점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =3], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} =5]일 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (-2a _{n} +3b _{n} )]의 값은? [3.5점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =5]이고 이 급수의 제[eqn: n]항까지의 부분합을 [eqn: S _{n}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{2a _{n} +3S _{n}} over {5a _{n} +2S _{n}}}]의 값은? [3.8점]

④

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {7} over {10}]	③ [eqn: {7} over {5}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {17} over {5}]

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {{3a _{n} -2} over {a _{n} +3} =4}]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값은? [3.8점]

①

① [eqn: -14]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: 0]

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 ^{2n+1} -2 ^{n}} over {4 ^{n+1} +3 ^{n}}}]의 값은? [3.8점]

③

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: INF]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.8점]

②

ㄱ. [eqn: a _{n} =(-1) ^{n}]	ㄴ. [eqn: a _{n} = {(-1) ^{2n} +2 ^{n+1}} over {4 ^{n-2}}]

ㄷ. [eqn: a _{n} = {1} over {n(n+2)}]	ㄹ. [eqn: a _{n} =(-1) ^{n} {2n} over {n+1}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 2n ^{2} +n<a _{n} <2n ^{2} +3n]
을 만족시킬 때 [eqn: lim _{n -> INF } {{4a _{n}} over {3n ^{2} +n}}]의 값은? [4.0점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {8} over {3}]

함수 [eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{1-x ^{n}} over {1+x ^{n+2}}}]에 대하여 [eqn: f(0)+f(1)+f(2)]의 값은? [4.0점]

⑤

① [eqn: - {1} over {4}]	② [eqn: 0]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

세 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}], [eqn: left{c_n right}]에 대한 옳은 설명을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.3점]

②

ㄱ. 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴하면

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 수렴한다.
ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} -2b _{n} )=0}]이고 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} =1}]이면,

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =2}]이다.

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} b _{n} )=0}]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =0}]또는 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} =0}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2na _{n} - {n ^{2} -1} over {n+5} RIGHT ) =4], [eqn: lim _{n-> INF } {(2a _{n} +5b _{n} )=11}]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{3a _{n} -b _{n}} over {a _{n} +b _{n}}}]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {1} over {5}]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 3]

수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{ n}]이라 할 때,
[eqn: S _{n} = {2n} over {n+2}]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +a _{n+2} )]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]은 다음 두 조건을 만족시킨다. 이때 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]의 값은? [5.0점]

①

(가) [eqn: a _{n} != 0]

(나) [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: a _{n} x ^{2} +2a _{n} x+1]을 [eqn: x-n]으로

나눈 나머지가 [eqn: 17]이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= {5n} over {x}]과 직선 [eqn: y=- {x} over {n} +6]의 두 교점을 [eqn: {rmA}_n], [eqn: {rmB}_n]이라고 한다. 선분 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {(l _{n+1} -l _{n} )}]의 값은? [5.5점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림에서 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원에 중심각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 부채꼴을 서로 겹치지 않게 [eqn: 4]개 그린 후 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 [그림1]이라 하자.
[그림1]에서 색칠되지 않은 각 부채꼴에 두 반지름과 호에 모두 접하도록 원을 그린다. 새로 그린 각 원에 중심각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이고 반지름의 길이가 새로 그린 원의 반지름의 길이와 같은 부채꼴을 서로 겹치지 않게 [eqn: 4]개씩 그린 후 새로 그린 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 [그림2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림에서 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{ n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은? [5.5점]

④

① [eqn: {3} over {5} pi]	② [eqn: {6} over {5} pi]	③ [eqn: {9} over {5} pi]
④ [eqn: {12} over {5} pi]	⑤ [eqn: {16} over {5} pi]

서술형

등비급수의 합을 이용하여 순환소수 [eqn: 1.0 dot{2} dot{5}]를 분수로 나타내는 과정을 서술하고 답을 구하시오. [10.0점]

[eqn: {203} over {198}]

다음 물음에 답하시오.  [총 10.0점]

(1) [eqn: k=8]

(2) [eqn: 48]

(1) 등식 [eqn: lim _{n-> INF } {{sqrt {kn+3}} over {n( sqrt {2n+1} - sqrt {2n-1} )}} =4]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을

구하는 과정을 서술하고 답을 구하시오. [5.0점]

(2) 등식 [eqn: lim _{n-> INF } {{bn-1} over {an ^{2} -4n+7}} =12]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]

의 값을 구하는 과정을 서술하고 답을 구하시오. [5.0점]

세 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}], [eqn: left{c_n right]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 10.0점]

(1) [eqn: 12]

(2) [eqn: 2]

(3) [eqn: 12]

(1) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을 [eqn: a _{n} = {4n ^{3} +5} over {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +n ^{2}}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의

값을 구하는 과정을 서술하고 답을 구하시오. [4.0점]

(2) 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} -2)=1]을 만족할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n}}]의 값을

구하는 과정을 서술하고 답을 구하시오. [3.0점]

(3) 두 수열 [eqn: left{b_n right}], [eqn: left{c_n right}]이 다음 조건을 만족시킬 때,

[eqn: lim _{n-> INF } {c _{n}}]의 값을 구하는 과정을 서술하고 답을 구하시오.

(가) [eqn: {4n ^{3} +5} over {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +n ^{2}} <c _{n} <6b _{n}] [eqn: (n=1,``2,``3,` CDOTS )]

(나) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} -2)=1]

[3.0점]

[2015년 저동고]

[2학년(문과) 1학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com